Родился в Казани 5 августа 1901 года. Детство провел в Константинополе, где служил военным атташе его отец (он исчез при невыясненных обстоятельствах во время служебной командировки в Берлин в 1905 году). В 1905 г. семья вернулась в Россию.
В 1912-1917 гг. учился в Первом кадетском морском корпусе в Петербурге. Предположительно, учился в гимназии при Лазаревском институте восточных языков. Когда началась Октябрьская революция, он уехал к родственникам в Уфу, там некоторое время занимался в Школе искусств, организованной Д.Бурлюком.
В 1919 году бежал из Уфы, добрался до Владивостока, где во время Гражданской войны служил моряком. В январе 1920 г. принял решение покинуть Россию: через Японию, Китай, Индию и Египет перебрался в Англию. В 1921 г. обосновался в Париже, став учеником и помощником С.Судейкина.
В 1922-1925 гг. работал декоратором-исполнителем во многих парижских театральных труппах: у Н.Ф.Балиева в «Летучей мыши», в театре «Knock» Ж.Ромэна, выполнял заказы для театральных постановок Ж.Питоева, Ф.Ф.Комиссаржевского, Г.Бати, «Русского балета» С.П.Дягилева. Посещал занятия в Академии Гранд Шомьер. В 1923 г. женился на актрисе труппы Ж.Питоева Александре Гриневской.
С 1925 г. при поддержке писателя Ф.Супо и издателя Ж.Шифрина стал получать заказы на иллюстрирование книг. Первые его опыты были связаны с трудоемкой техникой торцовой гравюры — «Нос» («Le Nez») Н.В. Гоголя (1925-1926), «Аптекарша» («La pharmacienne») Ж.Жироду (1926) и «Настоятель монастыря» («L'abbe de l'abbaye») Ж.Женбаха (1927); затем последовали работы в технике литографии, акватинты, офорта. В конце 1920-х годов с иллюстрациями Алексеева вышли малотиражные издания французских переводов: гоголевских «Записок сумасшедшего» («Journal d'un fou, 1927»), пушкинских «Пиковой дамы» («La Dame de pique», 1928) и «Повестей Белкина» («Les récits d’Ivan Pétrovitch Bielkine», 1930), а также другие книги. В 1929 г. в Париже тиражом 100 экземпляров была издана одна из наиболее значительных графических работ Алексеева – цикл из ста иллюстраций к «Братьям Карамазовым» («Les frères Karamazov») Достоевского. Ещё один монументальный графический цикл – гравюры к «Дон Кихоту» Сервантеса (1936) – до сих пор остается неизданным.
В начале 1930-х гг. Алексеев под впечатлением от экспериментальных фильмов «Механический балет» Ф.Леже и «Идея» Б.Бартоша обратился к кинематографу. Он изобрел новый способ съемки анимационных фильмов — с помощью игольчатого экрана, а 1933 г. вместе со своей ученицей и будущей женой Клер Паркер (1906-1981) реализовал это изобретение в восьмиминутном анимационном фильме «Ночь на Лысой горе» на музыку М.П.Мусоргского.
В 1940 г. переехал в США, однако после войны вернулся в Париж, где продолжил работать над анимационными фильмами: это были «Нос» (по повести Гоголя, 1963), пролог и эпилог к фильму «Процесс» по роману Ф. Кафки (режиссёр О. Уэллс, 1962), «Картинки с выставки» и «Три темы» (1972 и 1980; оба – по музыкальным темам Мусоргского). Неслучайно уже после того, как на игольчатом экране были созданы первые фильмы, Алексеев с его помощью выполнил огромные графические циклы – иллюстрации к «Доктору Живаго» («Le docteur Jivago») Пастернака (1959), «Игроку» («Le joueur») Достоевского (1967), представляющие собой своеобразные раскадровки сюжетов произведений. В частности, к роману «Доктор Живаго» на игольчатом экране были выполнены 202 иллюстрации.
Среди значительных графических работ Алексеева послевоенного времени – иллюстрации к «Слову о полку Игореве» («Chant du prince Igor», 1950), «Сказкам» («Contes») Э. Т. А. Гофмана (1960), «Искушению Запада» («La tentation de l’Occident») А. Мальро (1979).
В общей сложности с иллюстрациями Алексеева вышло около пятидесяти книг.
Особое место в его творческом наследии занимает цикл иллюстраций (120 акватинт) к «Анне Карениной» («Anna Karénine») Л.Н. Толстого, выполненный в 1951–1957 гг. Это издание было выпущено в Париже в 1997 г. тиражом 20 экземпляров в виде папки эстампов.
Умер художник 9 августа 1982 года в Париже.
